TruncatedSVDとPCAの違いとは？Scikit-learnで学ぶ次元削減の使い分け

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はじめに：なぜ次元削減が必要なのか？

機械学習プロジェクトで大量のデータを扱う際、「特徴量が多すぎる」という問題に直面することがあります。例えば、ユーザーアンケートの項目が数百個あったり、高解像度の画像データをピクセル単位で扱ったりする場合です。このような高次元データは、「次元の呪い」 と呼ばれる問題を引き起こし、モデルの予測精度を低下させたり、計算に膨大な時間が必要になったりする原因となります。

この課題を解決する強力な手法が 「次元削減」 です。次元削減は、データの本質的な情報をできるだけ失わずに、特徴量の数を減らす技術です。これにより、計算コストを大幅に削減し、ノイズを除去してモデルの性能を向上させる効果が期待できます。

この記事を読めば、次元削減の代表的な手法である「TruncatedSVD」と「PCA（主成分分析）」の決定的な違いを理解し、あなたのデータにどちらを使うべきか自信を持って判断できるようになります。

次元削減の代表格、PCA（主成分分析）とは？

まずは、次元削減の手法として最も広く知られているPCA（Principal Component Analysis: 主成分分析）について理解を深めましょう。

PCAの基本的な仕組み

PCAの目的は、データの「ばらつき（分散）」が最も大きくなる方向を見つけ出すことです。データが最も散らばっている方向は、そのデータの特徴を最もよく表していると考えられます。PCAは、この「ばらつきが大きい方向」を新しい軸（主成分）として次々と見つけていきます。

重要なのは、それぞれの主成分が互いに直交する（相関がない） 点です。これにより、冗長な情報を排除し、より少ない特徴量で効率的にデータを表現できます。例えば、100個の特徴量を、情報の損失を最小限に抑えながら10個の主成分に要約する、といったことが可能になります。

Scikit-learnを使ったPCAの実装例

PCAは、Scikit-learnライブラリの sklearn.decomposition.PCA を使って簡単に実装できます。PCAは基本的に、密行列（dense matrix）、つまり0の要素が少ない、一般的な数値データを対象とします。

import numpy as np
from sklearn.decomposition import PCA

# サンプルとなる密行列データを作成 (100サンプル, 10次元)
X_dense = np.random.rand(100, 10)

# 10次元から2次元に削減するPCAモデルを定義
# n_componentsで削減後の次元数を指定
pca = PCA(n_components=2)

# PCAを実行して次元削減
X_pca = pca.fit_transform(X_dense)

print(f"削減前のデータ形状: {X_dense.shape}")
print(f"削減後のデータ形状: {X_pca.shape}")

実行結果:

削減前のデータ形状: (100, 10)
削減後のデータ形状: (100, 2)Code language: HTTP (http)

このように、fit_transform メソッドを呼び出すだけで、簡単に次元削減が実行できます。

TruncatedSVD（特異値分解）の登場

次に、本記事のもう一つの主役であるTruncatedSVDについて見ていきましょう。PCAとよく似た使われ方をしますが、その背景にある仕組みと得意な分野が異なります。

TruncatedSVDの基本的な仕組み

TruncatedSVDは、SVD（特異値分解）という行列分解の手法を次元削減に応用したものです。SVDは、元の行列を3つの行列（U, Σ, Vᵀ）の積に分解します。この真ん中のΣ（シグマ）行列には「特異値」と呼ばれる値が格納されており、これが元の行列の重要な情報を保持しています。

TruncatedSVDでは、この特異値が大きい部分だけを残して、残りを”切り捨てる(Truncate)” ことで次元削減を実現します。特異値が大きいほど、データにとって重要度が高いと解釈できるため、この操作によって情報損失を抑えつつ次元を減らせるのです。

Scikit-learnを使ったTruncatedSVDの実装例

TruncatedSVDは、Scikit-learnの sklearn.decomposition.TruncatedSVD で利用できます。TruncatedSVDの最大の特徴は、疎行列（sparse matrix）、つまり要素のほとんどが0であるようなデータを効率的に扱える点です。

自然言語処理で文章を単語の出現頻度でベクトル化した場合など、疎行列は頻繁に登場します。

import numpy as np
from sklearn.decomposition import TruncatedSVD
from scipy.sparse import csr_matrix

# サンプルとなる疎行列データを作成 (100サンプル, 1000次元)
# ほとんどの要素が0であるデータを想定
X_sparse_data = np.random.rand(100, 1000)
X_sparse_data[X_sparse_data < 0.95] = 0  # 95%の要素を0にする
X_sparse = csr_matrix(X_sparse_data)

# 1000次元から10次元に削減するTruncatedSVDモデルを定義
svd = TruncatedSVD(n_components=10)

# TruncatedSVDを実行して次元削減
X_svd = svd.fit_transform(X_sparse)

print(f"削減前のデータ形状: {X_sparse.shape}")
print(f"削減後のデータ形状: {X_svd.shape}")

実行結果:

削減前のデータ形状: (100, 1000)
削減後のデータ形状: (100, 10)Code language: HTTP (http)

PCAではメモリ効率が悪く扱いにくいような巨大な疎行列でも、TruncatedSVDなら問題なく処理できます。

【本題】TruncatedSVDとPCAの決定的な違い

さて、ここからが本題です。TruncatedSVDとPCAは、次元削減という目的は同じでも、いくつかの決定的な違いがあります。これらの違いを理解することが、適切な手法選択の鍵となります。

違い①：対象とするデータの種類（疎行列 vs 密行列）

これが最も重要な違いです。TruncatedSVDは疎行列を、PCAは密行列を得意とします。

  • TruncatedSVD:
    • アルゴリズムが疎行列を効率的に計算できるように設計されています。
    • テキストデータをTF-IDFなどでベクトル化した後のように、語彙数が数万次元になり、そのほとんどが0になるようなデータに最適です。
  • PCA:
    • アルゴリズムの過程でデータの共分散行列を計算するため、密行列を前提としています。
    • 疎行列をPCAに渡すと、内部で密行列に変換しようとして膨大なメモリを消費し、計算が非現実的になることがあります。

違い②：アルゴリズムの中心

TruncatedSVDは「特異値」を、PCAは「分散」を基準に次元削減を行います。

  • TruncatedSVD:
    • 「特異値分解」をベースにしており、元の行列の情報を保持する力が大きい「特異値」を優先的に残します。
  • PCA:
    • 「主成分分析」の名前の通り、データの「分散（ばらつき）」が最大となる方向（主成分）を探し出します。

アプローチの仕方は異なりますが、どちらも「データにとって重要な情報」を抽出しているという点では共通しています。

違い③：データのセンタリングの有無

PCAは内部でデータの中心化（センタリング）を行いますが、TruncatedSVDは行いません。

  • PCA:
    • fit メソッドが呼ばれると、内部的に各特徴量の平均値を計算し、すべてのデータからその平均値を引く「センタリング」という前処理が自動的に行われます。これにより、データの中心が原点(0)に移動します。
  • TruncatedSVD:
    • このセンタリング処理を行いません。元のデータのスケールや位置関係を保ったまま計算を進めます。

この違いのため、同じ密行列データに適用しても、PCAとTruncatedSVDの結果は（通常は）完全には一致しません。

実は密行列に対してはほぼ同じ結果に？

ここで面白い事実があります。もし、密行列データをあらかじめ手動でセンタリングしてからTruncatedSVDを適用すると、その結果はPCAの結果とほぼ同じになります。

これは、両者の数学的な背景が密接に関連しているためです。このことから、TruncatedSVDは「センタリングを行わないPCA」のようなもの、と捉えることもできます。ただし、疎行列に対してセンタリングを行うと、0だった要素が非ゼロになってしまい疎行列のメリットが失われるため、通常は行いません。

使い分けガイド：どちらの手法を選ぶべきか？

理論的な違いを学んだところで、実践的な使い分けの指針を整理しましょう。

TruncatedSVDが適しているケース

結論として、データが「疎行列」である場合に第一の選択肢となります。

  • テキストデータ:
    • CountVectorizer や TfidfVectorizer でベクトル化されたデータ。これはTruncatedSVDの最も代表的なユースケースで、LSA（Latent Semantic Analysis: 潜在意味解析） とも呼ばれます。
  • レコメンドシステム:
    • ユーザー×アイテムの評価行列など、多くの要素が未評価（0や欠損値）で構成される疎行列データ。

PCAが適しているケース

結論として、データが「密行列」である場合に広く利用できます。

  • 画像データ:
    • 各ピクセルの輝度値など、特徴量が連続値を持つ密なデータ。
  • センサーデータ:
    • 時系列データや各種センサーから得られる、欠損値の少ない数値データ。
  • 一般的な特徴量エンジニアリング:
    • テーブルデータなど、さまざまな種類の数値特徴量をまとめて次元削減したい場合。

フローチャートで見る簡単使い分け診断

迷ったときは、以下のシンプルなフローチャートで判断してみてください。

  1. Q1. あなたのデータは疎行列（ほとんどの要素が0）ですか？
    • Yes -> TruncatedSVD を使いましょう。
    • No -> Q2 に進んでください。
  2. Q2. データの中心（平均）からのばらつきを重視して、特徴を要約したいですか？
    • Yes -> PCA を使いましょう。（最も一般的なケースです）
    • No / よくわからない -> まずは PCA を試すのが定石です。TruncatedSVDも使えますが、明確な理由がなければPCAが第一候補となります。

まとめ：TruncatedSVDとPCAを賢く使い分けよう

今回は、Scikit-learnで利用できる2つの代表的な次元削減手法、TruncatedSVDとPCAについて、その違いと使い分けを解説しました。

最後に、重要なポイントをもう一度おさらいしましょう。

  • 最大の使い分けポイントは、対象とするデータの種類です。
    • TruncatedSVD → 疎行列（テキストデータなど）
    • PCA → 密行列（一般的な数値データ、画像データなど）
  • 内部的なアルゴリズムにも違いがあります。
    • TruncatedSVD はセンタリングを行いません。
    • PCA は内部で自動的にセンタリングを行います。
  • テキスト分析ならTruncatedSVD (LSA)、一般的な特徴量削減ならPCAが、まず試すべき第一候補と言えるでしょう。

次元削減は、機械学習モデルの性能を向上させ、分析の幅を広げるための強力なツールです。TruncatedSVDとPCAの違いを正しく理解し、あなたのデータに最適な手法を選択することで、ぜひデータ分析を次のレベルに進めてください。

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